Teknik Artificial Variabel

sekarang lanjut di bab 4 yuu....rangkum rangkum again heheee

 

MANAJEMEN SAINS-Teknik Artificial Variabel (Materi4)

Teknik Artificial Variabel

Progam Linier dg kendala ³ atau = : Metode Teknik M

-  Pembahasan terdahulu hanya kendala bertanda ≤ , topik pembahasan selanjutnya untuk kendalabertanda  ≥ dan atau bertanda =

-   Untuk menyelesaikan kasus tersebut kita memerlukan variable dummy(variable palsu) atau artificial var. sehingga basis awal bisa tetap ada .

-    Untuk tanda ≥ masih menggunakan variable S dan R sedangkan untuk tanda (=) menggunakan variable dummy R saja.

-     Contoh :

           Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

           Berdasarkan kendala :

                         X1              ≥ 4

                                    2X2 ≥ 12

                        3X1 + 2X2 = 18

                              X1, X2  ≥ 0

PL dg kendala ³ atau = lanjutan

               *  Jika dituliskan dalam  bentuk standar :

                Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 +0S1 + 0S2 – MR1– MR2 – MR3

                Atau

                 Z – 3X1 – 5X2 + 0S1 + 0S2  + MR1 + MR2 + MR3 = 0

                                   X1                 - S1            +   R1                = 4

                                           2X2           – S2                  + R2       = 12

                       3X1  + 2X2                                                 + R3  = 18

                                                    X1, X2 , S1 , S2 , R1 , R2 , R3 ≥ 0

  *Perhatikan bahwa penalty M di atas bertanda (–) karena fungsi tujuannya maksimasi, jika fungsi tujuannya minimasi, maka penalty bertanda (+), dengan M adalah bilangan yang cukup besar.

Contoh 1 Solusi PL dg Teknik M

-  Metoda Big M (metode penalty)

                Contoh 1 : Cari solusi PL berikut ini

                Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

                                Berdasarkan kendala :

                                                X1              ≤ 4

                                                           2X2 ≤ 12

                                                3X1 + 2X2 = 18

                                                X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian :

Karena pembatas ketiga bertanda ( = ), maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variable artificial sehingga diperoleh bentuk :

 Maksimumkan :

                              Z = 3X1 + 5X2 + 0.S1 + 0.S2 – MR1

                                               

Contoh 1 Solusi PL dg Teknik M

Berdasarkan kendala :

                                X1              + S1                 = 4

                                2X2                  + S2           = 12

                                3X1 + 2X2                + R1 = 18

                                X1, X2, R1 , S1, S2 ≥ 0

Untuk memasukan model diatas kedalam bentuk table, maka terlebih dahulu subtitusikan R1 dari persamaan kendala ketiga :

                                R1 = 18 - 3X1 + 2X2

 Kemudian masukan kedalam persamaan Z :

                                Z = 3X1 + 5X2 + 0.S1 + 0.S2 – M(18 - 3X1 + 2X2 )

               Atau

                                Z = (3M + 3)X1 + (2M – 5)X2 + 0.S1 + 0.S2 – 18M     atau

                                Z - (3M + 3)X1 - (2M – 5)X2 - 0.S1 - 0.S2 = -

Sehingga tabel simpleks awal (iterasi 0)  dan iterasi ke 1 diberikan dalam tabel berikut ini :

Contoh 1 Solusi PL lanjutan

  -Terlihat pd. Tabel 1 (iterasi 0), X1 terpilih sebagai entering var. (koef. Negatip terbesar) dan S1 terpilih sebagai leaving var. (memp. Ratio terkecil).

  -  Karena koef. Entering var. untuk S1 adalah 1, pers. poros baru (X1) pada Tabel 2 sama dengan pers poros lama (S1) pada Tabel 1.

  -Pers. Z yg baru = Pers. Z yg lama – koef. Entering x pers. poros baru

            baris Z baru = Z lama – (3M+3) x pers./baris poros baru ® ini merupakan OBE (operasi                       baris elementer).

  -Pers. R1 yg baru = pers. R1 yg lama – koef. Entering x pers.poros baru

                baris R1 baru = baris R1 lama – 3 x per./baris poros baru.

  -  Hasil selengkapnya ditampilkan pada Tabel 2 (iterasi 1).

  -  Dari Tabel 2, X2 terpilih sebagai entering v. dan R1 terpilih sebagai leaving var., dan pers. /baris Z, X1 yang baru dihitung seperti halnya

Contoh 1 Solusi PL lanjutan

Pada iterasi sebelumnya, sehingga diperoleh hasil sebagai mana ditampilkan pada iterasi 2 

  -Dari iterasi 3 ), tampak bahwa koef. Pers. /baris Z berharga positip atau nol, sehingga solusi yang optimal telah diperoleh.

 -Solusi yang optimal adalah : Z = 36, X1 = 2, dan X2 = 6 (harga-harga tersebut dilihat pada kolom RK).

Contoh Soal  PL dg Teknik M

 Perusahaan minuman Bevco memproduksi  minuman tanpa alkohol Super-Orange. Super-Orange dibuat dengan  mengkombinasikan  air soda rasa jeruk  dengan  jus jeruk. Setiap  air soda rasa jeruk mengandung 0.5 ons gula dan 1 mg vitamin C. Setiap  ons jus  jeruk mengandung 0.25 oms gula dan 3 mg vitamin C. Biaya untuk memproduksi 1 ons air soda rasa jeruk adalah  2¢, sedangkan 1 ons jus jeruk diproduksi dengan biaya 3¢. Bagian pemasaran perusahaan Bevco memutuskan bahwa setiap botol Super-Orange ukuran  10-ons paling sedikit mengandung 30 mg vitamin C dan paling banyak 4 ons gula. Dengan menggunakan program linier, bagaimana Bevco dapat memenuhi kebutuhan bagian pemasaran dengan biaya produksi minimum.

Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M

Misalkan :

       x1 = besarnya kandungan (ons) air soda rasa jeruk dalam botol

       x2 = besarnya kandungan (ons) jus jeruk dalam botol

Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M

Persoalan di atas mempunyai model PL sbb. :

min z = 2x₁ +    3x₂ , dengan Z adalah biaya produksi      

Berdasarkan kendala :  

                0.5x₁  + 0.25x₂   ≤  4           (gula)

                   x₁ +    3x₂      ≥ 20             (Vitamin C)

                   x₁ +     x₂      = 10              (10 ons dalam 1 botol)

                   x₁, x₂   ³ 0

Bentuk standar PL masalah ini ditampilkan dalam slide berikut :

Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M

Baris 1 :                -z  +  2x₁  +        3x₂                = 0

Baris 2 :                        0.5x₁  +   0.25x₂ + s₁       =  4

Baris 3 :                             x₁ +         3x₂       - s₂ = 20

Baris 4 :                             x₁ +           x₂              = 10

Dengan menggunakan teknik artificial variables,  yakni dengan menambahkan variabel artifisial a2 pada baris ketiga dan a3 pada baris keempat. Variabel a2 dan a3 ditulis hitam, maka diperoleh :

Baris 1 : -z  +  2x₁ +      3x₂                                                     = 0

Baris 2 :                       0.5x₁  + 0.25x₂ + s₁                             =  4

Baris 3 :                            x₁ +      3x₂         - s₂ + a₂               = 20

Baris 4 :                            x₁ +        x₂                       + a₃         = 10

Solusi Contoh Soal

Jika iterasi ini diteruskan akan diperoleh solusi :

             x1 = x2 = 5, dan z = 25.

Artinya perusahaan itu akan memenuhi tuntutan bagian pemasaran dengan menentukan kandungan air soda rasa jeruk (x1) dan kandungan jus jeruk (x2) dalam botol sebesar 5 ons agar biaya (z) memproduksi air soda rasa jeruk dan jus jeruk minimal sebesar 25¢.

Catatan : solusi ini diperoleh dengan menggunakan software POM for Windows.

Metode Dua Phasa

  -  Di gunakannya konstanta M ( bilangan positif yang sangat besar) sebagai penalty, bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama apabila perhitungan itu dilakukan dengan menggunakan computer. Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien fungsi tujuan relative sangat kecil dibandingkan dengan harga M sehingga computer akan memperlakukannya sebagai koefisien yang berharga nol. Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan metoda dua fase. Disini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua fase sebagai berikut :

-    Fase 1 : Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan meminimumkan jumlah variable artifisialnya. Jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga nol, berarti persoalan memiliki solusi fisibel, lanjutkan ke fase 2 tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga positif, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel.

          

       

Metode Dua Phasa Lanjutan

Gunakan solusi basis optimum dari fase 1 sebagai solusi awal bagi persoalan semula. Dalam hal ini ubahlah bentuk fungsi tujuan fase 1 dengan mengembalikannya pada fungsi tujuan persoalan semula.

Pemecahan persoalan dilakukan dengan cara seperti biasa.

Contoh Soal  PL Metode Dua Phasa

-Contoh 1 :

                Tentukan solusi optimal masalah PL berikut :

                Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

-Berdasarkan kendala :

                                X1              ≤ 4

                                                2X2 ≤ 12

                                3X1 +  2X2 = 18

                                X1, X2 ≥ 0

Solusi PL menggunakan Metode Dua Fase :

Bentuk standar :

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 + 0.S1 + 0.S2 – M.R1

Berdasarkan kendala :

                X1              + S1                  = 4

                           2X2         + S2          = 12

                3X1 + 2X2                 + R1 = 18

                X1, X2, S1, S2, R1 ≥ 0

Dari persamaan diatas diperoleh harga R3 = 18 – 3X1 – 2X2

Fase 1 :

Minimumkan r = R3 atau r = 18 – 3X1 – 2X2

Berdasarkan kendala :

                X1              + S1                   = 4

                           2X2         + S2           = 12

                3X1 + 2X2                  + R3   = 18

                X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

Persoalan diatas memiliki solusi fisibel, karena solusinya nol. Selanjutnya R tidak diikutsertakan lagi.

Fase 2 :

Dari table optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaan persamaan berikut :

                X1 + S1 = 4 →X1 = 4 – S1

                3S1 + S2 = 6

                X2 - 3/2 S1 = 3 →X2 = 3 + 3/2 S1

Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan mensubtitusi persamaan persamaan diatas kita dapatkan :

Maksimumkan Z = 3(4 – S1) + 5(3- 3/2 S1 )

                 atau Z = 9/2 S1 + 27

                Berdasarkan kendala :

                X1              + S1          = 4

                                      3S1 + S2 = 6

                        X2 – 3/2 S1        = 3

Akan diperoleh solusi yang optimal X1= 2, X2 = 6 dengan Z = 36, sebagaimana tampak pada tabel berikut ini.